22 sep 2016 -- 14:30
Aula 7, DiMaI Dini, Firenze
Abstract.
"Bordi e topologia per varietà Kobayashi complete iperboliche e estensioni al bordo di mappe univalenti in più dimensioni"
(Parte I: "Teoria dei prime ends di Carathéodory e Horospheres Topology")
La Parte II: "Estensione al bordo di mappe univalenti", sarà annunciata separatamente.
Abstract: L’obiettivo di questo seminario in due parti è di dare una dimostrazione del seguente teorema: sia F una mappa univalente dalla palla in più variabili (o più generalmente da un dominio strettamente convesso a bordo liscio) a valori nello spazio complesso. Se l’immagine è un dominio limitato e convesso (senza nessun’altra ipotesi di regolarità sulla frontiera) allora F si estende come un omeomorfismo sulla chiusura. Risultati precedenti, a partire dal famoso teorema di Fefferman, necessitavano di una qualche ipotesi di regolarità sull’immagine. Questo teorema (e altri risultati di estensione al bordo), è una applicazione di una teoria di tipo prime ends sviluppata di recente dallo speaker con Hervé Gaussier, che consente di definire un bordo (horosphere boundary) per qualunque varietà completa (Kobayashi) iperbolica, ed una topologia (che chiamiamo "horosphere topology”) sull’unione della varietà con tale bordo. Tale bordo non è in generale omeomorfo al bordo di Gromov, rivelandosi pertanto un oggetto nuovo. Dalla costruzione segue che ogni biolomorfismo (o più in generale ogni isometria per la metrica di Kobayashi) definisce in modo naturale un omeomorfismo nella horosphere topology fino al bordo. Per domini strettamente pseudconvessi, tale topologia risulta omeomorfa alla topologia Euclidea della chiusura, mentre per il polidisco tale topologia ristretta al horosphere boundary è banale. Nella prima parte del seminario parlerò brevemente della topologia dei prime ends di Carathéodory, e dei motivi per cui non si può estendere a più dimensioni, e definirò la horosphere topology, illustrandola nell’esempio illuminante del disco di C, confrontandola con la topologia dei prime ends. Darò poi un’idea di come, utilizzando la metrica di Carnot-Carathèodory e alcuni risultati di Balogh e Bonk si possa ottenere una stima di localizzazione per la distanza di Kobayashi in domini strettamente pseudoconvessi, che apparentemente non era nota in precedenza, e mostrerò come, utilizzando tale stima e la teoria di Lempert per domini strettamente convessi si possa dimostrare che la horosphere topology di un dominio strettamente pseudoconvesso è omeomorfa alla topologia Euclidea della chiusura. Nella seconda parte del seminario, focalizzerò l’attenzione su domini convessi. Illustrerò come si può calcolare il horosphere boundary del bidisco e come calcolare la “horosphere impression” e la “horosphere principal part” per domini convessi. Utilizzando infine la teoria di Gromov insieme alla teoria introdotta in precedenza, darò una idea della dimostrazione del teorema obiettivo del seminario.