16 dec 2015 -- 18:00
Sala Riunioni, Dipartimento di Matematica, Pisa
Seminari dei Baby-geometri
Abstract.
La congettura di Tait afferma che i diagrammi ridotti e alternanti di link
in $\mathbb{S}^3$ hanno il numero minimo di incroci. Questa è stata provata nel 1987
da Thistlethwaite, Kauffman e Murasugi studiando il polinomio di Jones.
In questo seminario parleremo del risultato analogo per link in $\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^2$ dando
una risposta completa al problema. In $\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^2$ troviamo una dicotomia:
l'appropriata versione dell'enunciato è vera per link $\mathbb{Z}_2$-omologicamente
banali, ed anche la nostra dimostrazione usa il polinomio di Jones.
D'altra parte l'enunciato è falso per link $\mathbb{Z}_2$-omologicamente non banali
per i quali il polinomio di Jones è sempre nullo.
Il seminario comprenderà un'introduzione alla teoria di skein, quindi un'introduzione ad alcuni semplici invarianti quantistici. Tempo permettendo, parleremo anche dell'estensione del problema a link nella somma connessa di $g\geq 0$ copie di $\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^2$. Per $g=2$ si ottiene lo stesso risultato di $g=1$, mentre per $g>2$ otteniamo solo un risultato parziale. Per il caso $g>1$ la dimostrazione richiede strumenti più complicati come le ombre di Turaev.