7 may 2014 -- 14:00
Aula Riunioni (DM, Pisa)
Abstract.
Data una varietà algebrica \(X\) su un campo \(k\) con un punto razionale \(x_{0}\), Nori ha definito in {Nor82} il gruppo schema fondamentale \(\pi_{1}^{N}(X,x_{0})\): è un gruppo schema profinito (cioè è il limite proiettivo di gruppi schemi finiti) con la proprietà che, dato un gruppo schema finito \(G\) su \(k\), gli omomorfismi \(\pi_{1}^{N}(X,x_{0})\to G\) corrispondono ai fibrati principali a fibra \(G\) su \(X\). Sempre in {Nor82} (poi generalizzato e semplificato da Borne e Vistoli in {BV12}), Nori ha mostrato che quando \(X\) è completa (o, più in generale, pseudo-propria), la categoria delle rappresentazioni di dimensione finita di \(\pi_{1}^{N}(X,x_{0})\) ha un'interessante interpretazione tannakiana: è isomorfa a una particolare categoria di fibrati vettoriali su \(X\), i fibrati essenzialmente finiti. Questo permette di ritrovare il gruppo schema fondamentale a partire dai fibrati su \(X\).
{BV12} N. Borne and A. Vistoli, The Nori fundamental gerbe of a fibered category, ArXiv e-print (Apr 2012), arXiv:1204.1260 (math.AG)
{Nor82} M. V. Nori, The fundamental group-scheme, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., 91 (1982), no. 2, 73–122 (MR0682517 Zbl 0586.14006)